Beranda

PENDAHULUAN

1.1.   LATAR BELAKANG

Geometri berasal dari kata Latin “Geometria” Geo yang artinya tanah dan metria yang artinya pengukuran. Berdasarkan sejarah Geometri tumbuh jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah, di sekitar kawasan sungai Nil setelah terjadi banjir, dalam bahasa Indonesia Geometri dapat diartikan sebagai Ilmu Ukur (Moeharti, 1986: 1.2). Geometri didefinisikan juga sebagai cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang serta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama lain.

Geometri dapat dipandang sebagai sistem deduktif yaitu suatu sistem yang harus ada pengertian-pengertian pangkal, yaitu unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak didefinisikan, kemudian definisi, selain definisi juga harus ada relasi-relasi lain yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi atau postulat-postulat itu yang disebut dalil atau teorema. Proses untuk mendapatkan atau menurunkan suatu dalil dari himpunan pangkal, definisi, dan postulat inilah yang disebut deduksi. Dalam Geometri sebagai suatu sistem deduktif himpunan postulat itu dapat dipandang sebagai aturan permainan (Moeharti, 1986: 1.3 – 1.4).

Geometri yang pertama-tama muncul sebagai suatu sistem deduktif adalah Geometri dari Euclides. Kira-kira tahun 330 SM, Euclides menulis buku sebanyak 13 buah. Dalam bukunya yang pertama Euclid menjelaskan mengenai definisi, postulat, aksioma dan dalil (Moeharti, 1986: 1.9). dalam makalah ini akan dibahas tentang Euclid serta 13 buku yang ditulis Euclid.

1.2.   RUMUSAN MASALAH

Mengingat akan sifat makalah ini maka dirumuskan masalah sebagai berikut :

1).    Bagaimana peran Euclides dalam matematika?

2).    Apa saja isi dari 13 buku Elemen karya Euclides?

1.3.   TUJUAN

Berdasarkan dari latar belakang dan rumusan masalah maka penulis dalam makalah ini bermaksud untuk menjelaskan bagaimana peran Euclides dalam matematika dan isi dari 13 buku elemen yang dibuat oleh Euclides.

                                                    PEMBAHASAN

2.1.   Tentang Euclid

Euclid merupakan salah satu ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Namun hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya.

Menurut (Artmann, 1999:1) secara tradisional, Elemen telah dibagi menjadi tiga bagian utama:

1.      Geometri Bidang, Buku I sampai IV

2.      Aritmatika, Buku V sampai IX

3.      Geometri Ruang, Buku X sampai XIII

2.2.   Buku The Element

            Adapun isi dari 13 buku Elemen menurut (Artmann, 1999:3) adalah sebagai berikut:

1.      Buku 1: Pondasi Geometri Bidang

Buku ini diawali dengan kumpulan defenisi. konsep dasar titik, garis, sudut secara umum dan penggunaan sudut dalam mendefenisikan jenis-jenis segitiga, segiempat, dan lain-lain. Defenisi yang terakhir menggambarkan garis paralel dalam ilmu ukur sebagai garis tanpa titik umum. setelah definisi kita menemukan apa yang disebut postulat, yang merupakan aksioma dalam geometri, kelima dan terakhir ini adalah postulat paralel terkenal. Common notions adalah aksioma mengenai besaran pada umumnya, misalnya, " Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya”.

Teorema dari Buku I dapat dikelompokkan ke dalam empat bagian sebagai berikut:

a.       (I.1-26) Teorema mendasar dan konstruksi dasar dalam bidang geometri seperti teorema kongruensi untuk segitiga atau pembelahan sudut, di teorema ini tidak menggunakan garis sejajar.

b.      (I.27-32) Teori garis paralel, termasuk teorema bahwa jumlah sudut interior segitiga sama dengan dua sudut yang tepat (1,32)

c.       (I.33-45) Teori jajaran genjang; transformasi dan perbandingan daerah jajaran genjang dan segitiga.

d.      (I.46-46) Teorema Phytagoras.

2.      Buku II: Geometri dari peregi Panjang

Dibandingkan dengan buku I, buku kedua ini sangat jauh berbeda. Sebagian besar teorema dalam buku II menjelaskan materi aljabar tentang variasi pada tema identitas binomial (suku dua):

Hasil ini selalu dinyatakan dalam bahasa geometri subdivisi persegi panjang dan daerah dari berbagai bagian dari subdivisi. Teorema II.l2 dan 13 menggeneralisasi teorema Pythagoras (1,47) dengan apa yang kita sebut hukum cosinus, dan Proposisi II.l4 memberikan solusi dari masalah penting

membangun persegi sama (di daerah) untuk sosok bujursangkar diberikan.

3.      Buku III: Geometri dari Lingkaran

Buku III menjelaskan tentang fakta-fakta dasar tentang geometri lingkaran, garis singgung, dan lingkaran dalam kontak. Bagian kedua Buku III membahas segiempat dan lingkaran, termasuk Proposisi III.2I, yang menegaskan kesetaraan semua sudut di daerah sama dalam lingkaran.

4.      Buku IV: Poligon (Segibanyak) beraturan

Dalam buku IV, kita akan menggunakan istilah umum "poligon beraturan" (atau n-gon) Euclid panggilan dalam kasus-kasus tertentu yang “Poligon sama sisi dan sudut sama. Ada empat masalah yang dibahas, yaitu:

a.       Cara menuliskan bujur sangkar

b.      Menentukan batas lingkaran

c.       Menuliskan lingkaran

d.      Menentukan batas bujur sangkar

Masalah-masalah ini diselesaikan untuk:

a.       segitiga secara umum (IV. 2-5)

b.      persegi (segiempat beraturan) (IV. 6-9)

c.       segilima beraturan (IV. 10-14);

d.      segienam beraturan (IV. 15);

e.       segilimabelas beraturan (IV.16)

5.      Buku V: Teori umum dari besaran perbandingan

Buku V adalah buku yang paling abstrak dan independen dalam Elements dari buku-buku sebelumnya. Jika buku-buku lain prihatin dengan benda geometris atau angka, buku ini mempelajari “besaran” yang menurut Aristoteles meliputi angka, garis, muatan, dan waktu. Dalam VI.33 sudut diperlakukan sebagai besaran, dan luas daerah gambar sebagai besaran di VI.1, XII.1, dan XII.2 (area lingkaran), serta dibanyak tempat yang lain. Umum ini membuat teori proporsi yang berlaku di seluruh matematika, hubungan ini membuat teori proporsi berlaku diseluruh bidang matematika, hal ini membuktikan pernyataan dari Eratosthene (sekitar tahun 275-194 SM) ilmuan yang pertama kali yang menghitung keliling bumi secara akurat, “lithe unifying bond of the mathematical sciences” artinya “ikatan pemersatu ilmu matematika”.

Berbagai sumber menunjukkan bahwa Eudoxus (sekitar 400-350) merupakan penulis teori dalam buku V.

6.      Buku VI: Geometri bidang dari gambar yang sama

Buku VI ini secara garis besar hampir sama dengan Buku I. Sebenarnya Buku I, II, dan III menyajikan inti dari geometri bidang dan secara keseluruhan organisasi memberikan kesan standar perlakuan geeometri yang telah dikerjakan berulang-ulang sebelumnya. Seluruh bangunan dari Buku VI didasarkan pada Teorema VI.1, Teorema VI.2 merupakan teorema dasar pada proporsionalitas dari segmen garis.

Salah satu teorema utama dalam buku ini yaitu menghubungkan garis dan bidang segitiga yang serupa (dan Poligon) (VI 19,20), jika segitiga serupa dengan kesamaan faktor k untuk garis, maka faktor untuk sesuai daerah adalah k². Dibagian penutup dari Buku VI menyajikan aplikasi dari luas. yang dalam istilah modern sama saja dengan solusi geometris masalah kuadrat. Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam penerapan persamaan kuadrat. Karena alasan ini Buku VI disebut "aljabar geometri" oleh beberapa penulis.

7.      Buku VII: Aritmatika Dasar

Dalam buku VII euclides memulai sesuatu yang baru, materi dalam buku VII tidak berasal dari buku-buku sebelumnya. Definisi pada awal Buku VII ditujukan untuk membantu memahami Buku VII-IX.

Aritmatika Euclidean didirikan pada algoritma Euclidean untuk menentukan dua bilangan prima satu sama lain (VII.l4). Algoritma Euclide memberikan Faktor Persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a, b. Bagian selanjutnya pada buku ini yaitu penggunaan defenisi 20 untuk membangun sifat-sifat dasar dari proporsi dari bilangan. Inti dari buku VII adalah teori FPB (VII.20-32), yang berhubungan dengan kelipatan persekutuan terkecil KPK (VII.33-39).

8.      Buku VIII: Bilangan dalam Perbandingan Lanjutan

Bilangan dalam perbandingan lanjutan akan menjadi focus  utama dalam buku ini. Dibagian kedua buku ini (VIII.11-27). Perhatian lebih akan diberikan dalam materi jenis bilangan “dalam bentuk geometri,” seperti persegi dan kubus. Satu pertanyaan penting dalam konteks ini adalah bagaimana karakteristik bilangan a, b yang terdapat dalam perbandingan berikut:

9.      Buku IX : Bilangan dalam Perbandingan lanjutan; Teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil, Bilangan Sempurna.

Pada bagian A sampai E, bahasan yang dibahas dalam buku ini adalah mengenai konsep perbandingan. Yang paling special dalam buku ini adalah setelah teorema IX.20 yaitu mengenai teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil (“the even and the odd” as Plato says), yang tidak memiliki hubungan dengan yang mendahuluinya, tetapi hanya bertumpu pada Definisi 6-10 dari Buku VII. Puncak dari teori ini adalah tentang bilangan genap sempurna (IX.36).

10.  Buku X: Perbandingan ruas garis

Buku X adalah buku yang paling tebal dari Elemen. Dalam buku ini, algoritma Euclidean Buku VII diterapkan untuk mendapatkan criteria besaran yang sepadan:

X.5. Besaran sepadan memiliki rasio satu sama lain yang sama.

X.6. Jika dua besaran memiliki satu sama lain rasio yang sama, besaran akan sepadan.

Dalam X.9 Euclid menyatakan sebagai konsekuensi langsung yang sisi

dari persegi luas n adalah dapat dibandingkan dengan sisi persegi dari area 1 ketika n bukan bilangan persegi. Sebagian besar materi Buku X, hingga Proposisi 115, terdiri dalam studi yang cermat dari berbagai jenis garis dapat dibandingkan dan di luar lingkup tujuan. Secara historis, penemuan perbandingan garis, atau, seperti kita akan mengatakan hari ini, bilangan irasional.

11.  Buku XI: Dasar-dasar geometri Ruang

Buku XI diawali dengan defenisi-defenisi yang akan digunakan pada buku XII dan XIII. Dalam buku ini terdapat postulat-postulat dari Buku I. berikut bagian dari buku XI:

a.       (XI.l-19) Dasar-dasar geometri ruang (garis, bidang, kesejajaran, dan orthogonality).

b.      (XI.20-23) sudut dalam ruang, sifat dan konstruksinya.

c.       (XI.24-37) kesejajaran dalam ruang

12.  Buku XII: Luas dan Volume; Metode Eudoxus tentang “Exhaustion”

Beberapa metode diperlukan untuk menentukan daerah lingkaran dalam kaitannya dengan persegi, atau volume piramida. Metode exhaustion yang dipakai Euclides pertama kali diciptakan oleh Eudoxus. Metode pembuktian sangat berbeda dan jauh lebih rumit daripada buku-buku sebelumnya, kecuali buku V.

13.  Buku XIII: Polyhedra beraturan

Buku ini membahas tentang Polyhedra. Polihedra adalah suatu bidang tiga dimensi yang tersusun atas sisi-sisi berbentuk poligon. Kata Polyhedra diambil dari kata yunani kuno, yaitu poli atau banyak dan edon yang berarti dasar. Setiap garis penghubung (edge) pada polihedra menyatukan tepat dua buah poligon.

2.3.   Tokoh-Tokoh Dalam Geometri Euclid

Adapun beberapa tokoh dalam perkembangan geometri Euclid (Moeharti, 1986: 2)  adalah sebagai berikut:

1.      Prolus dari Alexandria (410-485), memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid.

2.      Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.

3.      Karl Friedrich Gauss dari Jerman (1777 - 1855)

4.      Wolfgang (Farkas) Bolyai dari Hongaria (1775 - 1856), dan anaknya Yanos Bolyai (1802 - 18060) dan juga Nicolai Ivanoviteh Lobachevsky (1793 - 1856)

                                                           

PENUTUP

III.1  KESIMPULAN

            Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah :

1.        Geometri Euklid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas, artinya hasil-hasil penting / teotema-teorema tersebut merupakan akibat dari postulat sejajar.

2.        Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat lainnya yang lebih pasti.

DAFTAR PUSTAKA

Artmann, B. (1999). Euclid-the creation of mathematics. Springer Science+Business Media: New York.

Moeharti HW. 1986. Materi Pokok Sistem-Sistem Geometri. Jakarta: Kanika Jakarta, Universitas Terbuka.

Prenowitz, W., & Jordan, M. (1965). Basic Concepts of Geometry. Blaisdell Publishing Company: Waltham, Massachusetts. Toronto. London.

Wikipedia Indonesia. (2008). Geometri Euclides. Diakses dari: http://www.google.co.id/Geometri/Euclides/Wikipedia/Indonesia/ensiklopedia/bebas/berbahasa/Indonesia.html.