LOGIKA MATEMATIKA
Standar Kompetensi :
Menggunakan logika matematika dalam
pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan
berkuantor.
Kompetensi Dasar :
·
Memahami
pernyataan dalam matematika dari ingkaran atau negasinya.
·
Menentukan
nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
·
Merumuskan
pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor
yang diberikan.
·
Menggunakan
prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan
pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari
4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah Kalimat, Kegiatan Belajar 2
adalah Kata Hubung, Kegiatan Belajar 3 adalah Invers, Konvers, dan
Kontraposisi, dan Kegiatan Belajar 4 adalah Penarikan Kesimpulan. Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Kalimat, akan
diuraikan mengenai kalimat bermakna, tidak bermakna, kalimat terbuka,
pernyataan dan bukan pernyataan, dan nilai kebenaran beserta penggunaannya
dalam kehidupan sehari-hari. Dalam Kegiatan Belajar 2, yaitu Kata Hubung, akan
diuraikan mengenai ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi,
ingkaran kalimat majemuk beserta tabel kebenaran untuk setiap kata hubung dan
kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam Kegiatan Belajar 3, yaitu
Invers, Konvers, dan Kontraposisi akan diuraikan mengenai Invers, Konvers, dan
Kontraposisi suatu Implikasi beserta tabel kebenaran masing-masing dan
kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam Kegiatan Belajar 4, yaitu
Penarikan Kesimpulan akan diuraikan mengenai berbagai cara penarikan
kesimpulan, yaitu: Modus ponens, modus tolens, dan silogisme, serta penggunaannya
dalam kehidupan sehari-hari.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini tidak
diperlukan adanya prasyarat.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal
yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan,
karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi
berikutnya.
2.
Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang
ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda
menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari
materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak
dapat Anda pecahkan, catatlah,
kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain
yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
D.
Tujuan Akhir
Setelah
mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1.
Menentukan pernyataan dan bukan pernyataan yang dijumpai dalam kehidupan
sehari-hari,
2. Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat yang
dijumpai dalam kehidupan
sehari-hari,
3. Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat
majemuk dan menggunakannya
dalam kehidupan sehari-hari,
4. Menentukan kalimat yang ekivalen dengan suatu
kalimat yang diketahui,
5.
Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi serta menggunakannya dalam kehidupan
sehari-hari,
6.
Menggunakan modus ponens, modus tolens, dan silogisme untuk menarik kesimpulan.
BAB II
PEMBELAJARAN
A.
Pernyataan
, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan.
1.
Pernyataan
Pernyataan
adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus
kedua-duanya.
Contoh :
a.
Hasil
kali 5 dan 4 adalah 20
b.
Semua
unggas dapat terbang
c.
Ada
bilangan prima yang genap
Contoh a dan c
adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.
Contoh
kalimat yang bukan pernyataan :
a.
Semoga
nanti engkau naik kelas
b.
Tolong
tutupkan pintu itu
c.
Apakah
ali sudah makan ?
Suatu
pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.
Misalnya
:
P
: Semua bilangan prima adalah ganjil
q
: Jakarta ibukota Indonesia
Ada
2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :
a.
Dasar
empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.
Contoh
:
*
Rambut adik panjang
*
Besok pagi cuaca cerah
b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan
menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu
dan tempat.
Contoh :
* Jumlah sudut
dalam segitiga adalah 1800
* Tugu muda
terletak di kota Semarang
Tugas I
Diantara
kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan, jika pernyataan tentukan
nilai kebenarannya.
1.
Salah
satu faktor prima dari 36 adalah 6
2.
Jajar
genjang adalah segi empat yang sisinya sama panjang
3.
Bolehkah
aku main ke rumahmu ?
4.
x
merupakan bilangan prima
5.
Tahun
2006 merupakan tahun kabisat
2.
Kalimat
terbuka
Kalimat
terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri
dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.
Contoh
:
a.
2x
+ 3 = 9
b.
5
+ n adalah bilangan prima
c.
Kota
A adalah ibukota provinsi jawa tengah
3.
Ingkaran
dari pernyataan
Ingkaran
atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan
semula.
Ingkaran
dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.
Tabel
kebenarannya sbb :
p
|
~ p
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Contoh
:
a.
p : Ayah pergi ke pasar
~
p : Ayah tidak pergi ke pasar
b.
q : 2 + 5 < 10
~ q
: 2 + 5 10
Tugas
II
Tentukan
ingkaran / negasi dari pernyataan berikut :
1.
17
adalah bilangan prima
2.
3
adalah faktor dari 38
3.
5
x 12 > 40
4.
Adikku
pandai bermain gitar
5.
Diagonal
ruang kubus ada 4 buah.
B.
Pernyataan
berkuantor
Pernyataan
berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas
Ada
2 macam kuantor, yaitu :
1.
Kuantor
Universal
Dalam
pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap)
Contoh
:
* x R, x2 >
0, dibaca untuk setiap x anggota
bilangan Real maka berlaku x2 > 0.
* Semua ikan bernafas dengan insang.
2.
Kuantor Eksistensial
Dalam
pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ( dibaca ada, beberapa,
terdapat, sebagian)
Contoh
:
* x R, x2 + 3x
– 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x – 10
< 0
* Beberapa ikan
bernafas dengan paru-paru
Ingkaran
dari pernyataan berkuantor
Ingkaran
dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran
dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh
:
a.
p :
Semua ikan bernafas dengan insang
~ p
: Ada ikan bernafas tidak dengan insang
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru
: Tidak semua ikan bernafas dengan insang
b. q
: Beberapa siswa SMA malas belajar
~ q
: Semua siswa SMA tidak malas belajar
Tugas
III
Tentukan
ingkaran pernyataan berikut :
1.
Setiap
bilangan prima merupakan bilangan ganjil
2.
x R ; x2 + 5x
– 6 = 0
3.
x R ; x2 + 4x
– 5 > 0
4.
Ada
siswa yang tidak menyenangi pelajaran matematika
5.
Semua
segitiga jumlah sudutnya 1800
C.
Pernyataan
Majemuk
Pernyataan
majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan
dengan kata hubung.
Ada
4 macam pernyataan majemuk :
1.
Konjungsi
Konjungsi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan dengan yang dibaca p dan q
Tabel kebenarannya :
P
|
Q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Dari
tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua
pernyataan bernilai benar.
Contoh
:
p : 34
= 51 bernilai salah
q : 2 + 5 = 7 bernilai benar
: 34 = 51
dan 2 + 5 = 7 bernilai salah
2.
Disjungsi
Disjungsi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.
Disjungsi
dari pernyataan p dan q dinotasikandan dibaca p atau q
Tabel kebenarannya :
P
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Dari
tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan
bernilai salah.
Contoh
:
P
: jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (pernyataan bernilai benar)
q
: Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)
: Jumlah dari 2 dan 5
adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta
(pernyataan bernilai benar)
Tugas
IV
1.
Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a.
2 + 1 = 3 dan 2 adalah bilangan
prima
b.
37
adalah bilangan prima dan ada bilangan prima yang genap
c.
Semua
unggas dapat terbang atau grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola
d.
Log
5 merupakan bilangan irasional atau 3 + 5 = 8
2.
Jika
p : Adik naik kelas
q : Adik dibelikan sepeda motor
Nyatakan dengan pernyataan majemuk :
a.
p
q
b.
p
q
c.
~
p q
d.
~
(p q)
3.
Buatlah
tabel kebenaran dari :
a.
(pq) v (~pq)
b.
[~(p
v q) ] q
Jawab:
p
|
q
|
(pVq)
|
~(pVq)
|
~(pVq)^q
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
4.
Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung
“jika .... maka .......”
Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca “jika p
maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat
cukup bagi p”
Dari implikasi p q, p disebut anteseden
atau sebab atau hipotesa
q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.
Tabel kebenarannya :
P
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu
bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah.
Contoh :
P : 5 + 4 = 7 (pernyataan salah)
q : Indonesia di benua eropa (pernyatan salah)
p q : Jika 5 + 4 = 7
maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)
5. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung
“.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika
dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya :
P
|
Q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi
akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.
Contoh :
p : 3 + 10 =14 (pernyataan salah)
q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi
adalah segitiga (pernyataan salah)
Tugas V
1.
Tentukan
nilai kebenaran pernyataan berikut :
a.
Jika
besi termasuk benda padat maka 3 + 5 = 9
b.
Jika
cos 30 = 0,5 maka sin 60 = 0,5
c.
Tugu
nuda terletak di Surabaya jika dan hanya jika Tugu muda terletak di Semarang.
d.
> 2 jika dan hanya
jika 33 bilangan prima
2.
Jika
p : Adi menyenangi boneka
q : 5 + 3 < 10
Nyatakan dalam
bentuk pernyataan :
a.
p
q
b.
p
q
c.
~
p q
d.
p
~ q
3.
Buatlah
tabel kebenaran :
a.
(p
q) ( p ~ q)
P
|
Q
|
~Q
|
P→Q
|
P→~Q
|
(P→Q)ß---à ( P→~Q)
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
b.
(~
p q) ( p q)
D. Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Dari implikasi p q dapat dibentuk
implikasi baru :
1.
q
p disebut konvers dari implikasi semula
2.
~
p ~ q disebut invers
dari implikasi semula
3.
~
q ~ p disebut
kontraposisi dari implikasi semula
Contoh :
p : Tia penyanyi
q : Tia seniman
implikasi p q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
Konvers q p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
Invers ~ p ~ q : Jika Tia bukan
penyanyi maka Tia bukan seniman
Kontraposisi ~ q ~ p : Jika Tia bukan
seniman maka Tia bukan penyanyi
E. PERNYATAAN MAJEMUK YANG
EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah
Contoh : Buktikan bahwa:
p q (p q) (q p)
Dengan tabel kebenaran dapat
dilihat sebagai berikut :
p
|
q
|
p q
|
p q
|
q p
|
(p q) (q p)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Ekuivalen
F. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK
1. ~ (p q) ~ p v ~ q
2. ~ (p v q) ~ p ~ q
3. ~ (p q) p ~ q
4. ~ (p q) (p ~ q) v (q ~ p)
Contoh :
1.
Negasi
dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2 8 atau adik tidak naik
kelas
2.
Negasi
dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai
G.
TAUTOLOGI
DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai
benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu
bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Contoh :
Buktikan dengan tabel
kebenaran (p~q) ~(pq)
p
|
q
|
~q
|
p ~q
|
p q
|
~(pq)
|
(p~q)~(p q)
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
TUGAS VI
1.
Tentukan
konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut :
a.
Jika
hujan maka jalan basah
b.
Jika
skit maka Ani ke sekolah
c.
Jika
x = 2 maka > 1
2.
Buktikan
dengan tabel kebenaran bahwa :
[p v (q r)] [(p v q) (p v r)]
3. Tentukan
negasi dari pernyataan berikut :
a. Harga mobil
mahal atau Sungai Brantas di jawa Tengah
b. Segitiga
ABC siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudutnya 900
c. p v (q r)
d. p (q r)
4. Tentukan dengan tabel kebenaran
pernyataan berikut yang merupakan tautologi dan kontradiksi
a.
(p q) (p v q)
b.
(p ~q) (~p ~q)
H.
PENARIKAN
KESIMPULAN
Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai
ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan
yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.
Contoh :
Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas
Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang
Premis 3 : Adik rajin belajar
Konklusi : Ibu senang
Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar
pula.
Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :
1.
Modus
Ponens
Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :
Premis 1 : p q
Premis 2 : p
Konklusi : q
Dengan tabel
kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Pada tabel kebenaran tersebut,
premis-premis yang bernilai benar diberi tanda , ternyata mendapatkan konklusi yang
diberi tanda
Juga
benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens dikatakan
sah atau valid.
2.
Modus
Tollens
Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens
sbb :
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
P
|
q
|
~p
|
~q
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Berdasarkan
tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens dikatakan sah.
3.
Silogisme
Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme
sbb :
Premis 1 : p q
Premis 2 : q r
Konklusi : p r
Dengan tabel kebenaran dapat
dilihat sebagai berikut :
P
|
q
|
r
|
|
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan
dengan metode silogisme dikatakan sah atau valid.
Contoh :
Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :
1.
Premis
1 : Jika sakit maka ibu minum obat
Premis 2 : Ibu sakit
Konklusinya : Ibu minum obat
2.
Premis
1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak
Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak
Konklusinya : Mesin mobil itu tidak
rusak
3.
Premis
1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik
Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka
uang saku naik
Konklusinya : Jika BBM naik maka uang
saku naik
Tugas VII
1.
Tentukan
apakah penarikan kesimpulan berikut sah atau tidak
a. p q
q
p
b.
p v q
~ q
p
c. p ~q
r q
p ~r
d. Jika listrik padam maka mesin
tidak jalan
Jika mesin tidak jalan maka produksi berhenti
Jika listrik padam
maka produksi berhenti
e.
jika
Jakarta di Jawa Tengah maka Surabaya ibukota Indonesia
Jika Surabaya ibukota Indonesia maka Bengawan Solo di
Banten
Jika Bengawan Solo
tidak ada di Banten maka Jakarta tidak ada di Jawa Tengah
2.
Tentukan
kesimpulannya
a.
Jika
makan rujak maka Ani sakit perut
Ani
makan rujak
b.
Jika PSIS menang maka panser biru senang
Jika
panser biru senang maka Semarang ramai
c.
Jika Inul bernyanyi maka penonton bergoyang
Penonton
tidak bergoyang
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul
ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda
pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil
evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul
berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika
1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika
untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS
Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar